Развертки пирамиды и конуса. Пирамида из бумаги своими руками. Схемы и способы изготовления 4 угольная пирамида чертеж

Развертка боковой поверхности пирамиды (рис. 16.3) состоит из трех треугольников, представляющих в истинном виде боковые грани пирамиды.

Для построения развертки необходимо предварительно определить истинные длины боковых ребер пирамиды. Повернув эти ребра вокруг высоты пирамиды до положения параллельного плоскости p 2 , на фронтальной плоскости проекций получим их истинные длины в виде отрезков и .

Построив по трем сторонам и грань пирамиды ASB (рис. 16.4) пристраиваем к ней смежную грань – треугольник BSC, а к последнему грань CSA. Полученная фигура представит собою развертку боковой поверхности данной пирамиды.

Для получения полной развертки к одной из сторон основания пристраиваем основание пирамиды – треугольник АВС.

Для построения на развертке линии, по которой поверхность пирамиды пересечется плоскостью a (рис. 16.3), надлежит нанести на ребра SA, SB и SC, соответственно, точки 1, 2 и 3, в которых эта плоскость пересекает ребра, определив истинные длины отрезков S1, S2 и S3.

Рис. 16.3	Рис. 16.4

Контрольные вопросы по теме лекции:

1. Что называется разверткой поверхности?

2. Какие поверхности называются развертываемыми или неразвертываемыми. Приведите примеры.

3. Общие правила построения разверток поверхности призмы, пирамиды.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О РАЗВЁРТЫВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Будем рассматривать поверхность как гибкую нерастяжимую оболочку. В этом случае некоторые поверхности путём преобразования можно совместить с плоскостью без разрывов и складок . Поверхности, допускающие такое преобразование, называются развёртывающимися.

Фигура, получающаяся при совмещении развертывающейся поверхности с плоскостью, называется разверткой.

Построение развёрток имеет большое значение при конструировании изделий из листового материала (сосуды, трубопроводы, выкройки и т.д.).

Поверхности, развертывающиеся геометрически точно : многогранные, конические, торсы, цилиндрические.

Из кривых поверхностей, к числу развёртывающихся относятся те линейчатые поверхности (конические, цилиндрические, торсы), у которых касательная плоскость касается поверхности по её прямолинейной образующей.

Все остальные кривые поверхности относятся к числу не развертывающихся, но при необходимости можно построить их приближённые развёртки.

Для построения развёртки какой-либо криволинейной поверхности её разбивают на такие криволинейные участки, каждый из которых можно аппроксимировать некоторой плоской фигурой, которая требует для определения своей натуры только замеров .

Например:

· цилиндр разбивают на прямоугольники (рисунок 16-1а);

· прямой конус на равнобедренные треугольники (рисунок 16-1б);

· эллиптический цилиндр - на параллелограммы (рисунок 16-1в);

· эллиптический конус - на треугольники (рисунок 16-1г);

· сферу - на трапеции.

РАЗВЁРТКИ ПИРАМИДЫ И КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

В качестве примеров рассмотрим построение разверток только четырех поверхностей: пирамиды, конуса, призмы и цилиндра.

Развертка поверхности пирамиды

Развёртка такой поверхности представляет собой плоскую фигуру, которая получается совмещением всех её граней с одной плоскостью.

Пример 1 . Построить развёртку поверхности пирамиды АВСS (рисунок 16-2) и нанести на неё линиюМN.

Так как боковыми гранями пирамиды являются треугольники, то для построения развёртки необходимо найти натуральный вид этих треугольников, для чего следует определить истинные длины сторон - ребер пирамиды.

Основание пирамиды лежит в горизонтальной плоскости, следовательно, натуральная величина ребер АВ, ВС и АС уже имеется на чертеже.

Ребро SA является фронталью, поэтому на виде спереди оно изображается в натуральную величину.

Натуру ребер SВ и SС определяем способом прямоугольного треугольника. Одним катетом его является превышение точки S над точками В и С, а вторым - вид сверху ребер SВ и SС.

Затем по трём сторонам строим последовательно все боковые грани пирамиды.

Для нанесения на развёртку линии МN вначале определим истинную величину отрезков AM и В1 и отложим их на развёртке на соответствующих ребрах.

Чтобы нанести точку М, проведём на грани SВС прямую S2 и найдём её положение на развёртке, отложив отрезок В2 (замеренный на виде сверху) на стороне ВC. Затем на виде спереди проведём через точку 4 отрезок 3-4, параллельный ребру ВС и найдём его положение на развёртке, для чего отложим отрезок C4 на стороне SС и через полученную точку проведём прямую 3-4 параллельную ребру ВС. На пересечении прямых S-2 и 3-4 найдём точку N. Соединив полученные точки М, 1, N получим искомую линию.

Развертка поверхности пирамиды - это плоская фигура, составленная из основания и граней пирамиды, совмещенных с некоторой плоскостью. На примере ниже мы рассмотрим построение развертки способом треугольников.

Пирамиду SABC пересекает фронтально-проецирующая плоскость α. Необходимо построить развертку поверхности SABC и нанести на нее линию пересечения.

На фронтальной проекции S""A""B""C"" отмечаем точки D"", E"" и F"", в которых след α v пересекается с отрезками A""S"", B""S"" и C""S"" соответственно. Определяем положение точек D", E", F" и соединяем их друг с другом. Линия пересечения обозначена на рисунке красным цветом.

Определение длины ребер

Чтобы найти натуральные величины боковых ребер пирамиды, воспользуемся методом вращения вокруг проецирующей прямой. Для этого через вершину S перпендикулярно горизонтальной плоскости H проведем ось i. Поворачивая вокруг нее отрезки SA, SB и SC, переместим их в положение, параллельное фронтальной плоскости V.

Действительные величины ребер равны проекциям S""A"" 1 , S"" 1 B"" 1 и S""C"" 1 . Отмечаем на них точки D"" 1 , E"" 1 , F"" 1 , как это показано стрелками на рисунке выше.

Треугольник ABC, лежащий в основании пирамиды, параллелен горизонтальной плоскости. Он отображается на ней в натуральную величину, равную ∆A"B"C".

Порядок построения развертки

В произвольном месте на чертеже отмечаем точку S 0 . Через нее проводим прямую n и откладываем отрезок S 0 A 0 = S""A"" 1 .

Строим грань ABS = A 0 B 0 S 0 как треугольник по трем сторонам. Для этого из точек S 0 и A 0 проводим дуги окружностей радиусами R 1 = S""B"" 1 и r 1 = A"B" соответственно. Пересечение данных дуг определяет положение точки B 0 .

Грани B 0 S 0 C 0 и C 0 S 0 A 0 строятся аналогично. Основание пирамиды в зависимости компоновки чертежа присоединяется к любой из сторон: A 0 B 0 , B 0 C 0 или C 0 A 0 .

Нанесем на развертку линию, по которой плоскость α пересекается с пирамидой. Для этого на ребрах S 0 A 0 , S 0 B 0 и S 0 С 0 отметим соответственно точки D 0 , E 0 и F 0 . При этом точка D 0 находится на пересечении отрезка S 0 A 0 с окружностью радиусом S""D"" 1 . Аналогично E 0 = S 0 B 0 ∩ S""E"" 1 , F 0 = S 0 C 0 ∩ S""F"" 1 .

Пирамиды бывают: треугольные, четырехугольные и т. д., смотря по тому, что является основанием - треугольник, четырехугольник и т. д.
Пирамида называется правильной (фиг.286,б), если, во - первых, ее основанием является правильный многоугольник, и, во - вторых, высота проходит через центр этого многоугольника.
В противном случае пирамида называется неправильной (фиг.286,в). В правильной пирамиде все боковые ребра равны между собой (как наклонные с равными проекциями). Поэтому все боковые грани правильной пирамиды есть равные равнобедренные треугольники.
Анализ элементов правильной шестиугольной пирамиды и их изображение на комплексном чертеже (фиг.287) .

а) Комплексный чертеж правильной шестиугольной пирамиды. Основание пирамиды расположено на плоскости П 1 ; две стороны основания пирамиды параллельны плоскости проекций П 2 .
б) Основание ABCDEF - шестиугольник, расположенный в плоскости проекций П 1 .
в) Боковая грань ASF - треугольник, расположенный в плоскости общего положения.
г) Боковая грань FSE - треугольник, расположенный в профильно - проектирующей плоскости.
д) Ребро SE - отрезок общего положения.
е) Ребро SA - фронтальный отрезок.
ж) Вершина S пирамиды - точка в пространстве.
На (фиг.288 и фиг.289) приведены примеры последовательных графических операций при выполнении комплексного чертежа и наглядных изображений (аксонометрии) пирамид.

Дано:
1. Основание расположено на плоскости П 1 .
2. Одна из сторон основания параллельна оси х 12 .
I. Комплексный чертеж.
I, а. Проектируем основание пирамиды - многоугольник, по данному условию лежащий в плоскости П 1 .
Проектируем вершину - точку, расположенную в пространстве. Высота точки S равна высоте пирамиды. Горизонтальная проекция S 1 точки S будет в центре проекции основания пирамиды (по условию).
I, б. Проектируем ребра пирамиды - отрезки; для этого соединяем прямыми проекции вершин основания ABCDE с соответствующими проекциями вершины пирамиды S . Фронтальные проекции S 2 С 2 и S 2 D 2 ребер пирамиды изображаем штриховыми линиями, как невидимые, закрытые гранями пирамиды (SBА и SAE ).
I, в. Дана горизонтальная проекция К 1 точки К на боковой грани SBА , требуется найти ее фронтальную проекцию. Для этого проводим через точки S 1 и K 1 вспомогательную прямую S 1 F 1 , находим ее фронтальную проекцию и на ней при помощи вертикальной линии связи определяем место искомой фронтальной проекции K 2 точки К .
II. Развертка поверхности пирамиды - плоская фигура, состоящая из боковых граней - одинаковых равнобедренных треугольников одна сторона которых равна стороне основания, а две другие - боковым ребрам, и из правильного многоугольника - основания.
Натуральные размеры сторон основания выявлены на его горизонтальной проекции. Натуральные размеры ребер на проекциях не выявлены.
Гипотенуза S 2 ¯A 2 (фиг.288, 1 , б) прямоугольного треугольника S 2 O 2 ¯A 2 , у которого большой катет равен высоте S 2 O 2 пирамиды, а малый - горизонтальной проекции ребра S 1 A 1 является натуральной величиной ребра пирамиды. Построение развертки следует выполнять в следующем порядке:
а) из произвольной точки S (вершины) проводим дугу радиусом R , равным ребру пирамиды;
б) на проведенной дуге отложим пять хорд размером R 1 равным стороне основания;
в) соединим прямыми точки D, С, В, А, Е, D последовательно между собой и с точкой S , получим пять равнобедренных равных треугольников, составляющих развертку боковой поверхности данной пирамиды, разрезанной по ребру SD ;
г) пристраиваем к любой грани основание пирамиды - пятиугольник, пользуясь способом триангуляции, например к грани DSE .
Перенос на развертку точки К осуществляется вспомогательной прямой с помощью размера В 1 F 1 , взятого на горизонтальной проекции, и размера А 2 К 2 , взятого на натуральной величине ребра.
III. Наглядное изображение пирамиды в изометрии.
III, а. Изображаем основание пирамиды, пользуясь координатами согласно (фиг.288, 1 , а).
Изображаем вершину пирамиды, пользуясь координатами по (фиг.288, 1 , а).
III, б. Изображаем боковые ребра пирамиды, соединяя вершину с вершинами основания. Ребро S"D" и стороны основания C"D" и D"E" изображаем штриховыми линиями, как невидимые, закрытые гранями пирамиды C"S"B" , B"S"A" и A"S"E" .
III, e. Определяем на поверхности пирамиды точку К , пользуясь размерами у F и х K . Для ди-метрического изображения пирамиды следует придерживаться той же последовательности.
Изображение неправильной треугольной пирамиды.

Дано:
1. Основание расположено на плоскости П 1 .
2. Сторона ВС основания перпендикулярна оси X .
I. Комплексный чертеж
I, а. Проектируем основание пирамиды - равнобедренный треугольник, лежащий в плоскости П 1 , и вершину S - точку, расположенную в пространстве, высота которой равна высоте пирамиды.
I, б. Проектируем ребра пирамиды - отрезки, для чего соединяем прямыми одноименные проекции вершин основания с одноименными проекциями вершины пирамиды. Горизонтальную проекцию стороны основания ВС изображаем штриховой линией, как невидимую, закрытую двумя гранями пирамиды ABS , ACS .
I, в. На фронтальной проекции A 2 С 2 S 2 боковой грани дана проекция D 2 точки D . Требуется найти ее горизонтальную проекцию. Для этого через точку D 2 проводим вспомогательную прямую параллельно оси х 12 - фронтальную проекцию горизонтали, затем находим ее горизонтальную проекцию и на ней, при помощи вертикальной линии связи, определяем место искомой горизонтальной проекции D 1 точки D .
II. Построение развертки пирамиды.
Натуральные размеры сторон основания выявлены на горизонтальной проекции. Натуральная величина ребра AS выявлена на фронтальной проекции; натуральной величины ребер BS и CS в проекциях нет, величину этих ребер выявляем путем вращения их вокруг оси i , перпендикулярной к плоскости П 1 проходящей через вершину пирамиды S . Новая фронтальная проекция ¯C 2 S 2 является натуральной величиной ребра CS .
Последовательность построения развертки поверхности пирамиды:
а) вычерчиваем равнобедренный треугольник - грань CSB , основание которого равно стороне основания пирамиды СВ , а боковые стороны - натуральной величине ребра SC ;
б) к сторонам SC и SB построенного треугольника пристраиваем два треугольника - грани пирамиды CSA и BSA , а к основанию СВ построенного треугольника - основание СВА пирамиды, в результате получаем полную развертку поверхности данной пирамиды.
Перенос на развертку точки D выполняется в следующем порядке: сначала на развертке боковой грани ASC проводим линию горизонтали при помощи размера R 1 а затем определяем на линии горизонтали место точки D при помощи размера R 2 .
III. Наглядное изображение пирамиды е фронтальной диметрической проекции
III, а. Изображаем основание А"В"С и вершину S" пирамиды, пользуясь координатами согласно (

Необходимо построить развертки гранных тел и нанесения на развертку линии пересечения призмы и пирамиды.

Для решения этой задачи по начертательной геометрии необходимо знать:

— сведения о развертках поверхностей, способах их построения и, в частности, построение разверток гранных тел;

— взаимно-однозначные свойства между поверхностью и ее разверткой и способы перенесения точек, принадлежащих поверхности, на развертку;

— методы определения натуральных величин геометрических образов (линии, плоскости и др.).

Порядок решения Задачи

Разверткой называется плоская фигура, которая получается при разрезании и разгибании поверхности до полного совмещения с плоскостью. Все развертки поверхностей (заготовки, выкройки ) строятся только из натуральных величин.

1. Поскольку развертки строятся из натуральных величин, приступаем к их определению, для чего па кальку (миллиметровку или другую бумагу) формата A3, переносится задача № з со всеми точками и линиями пересечений многогранников.

2. Для определения натуральных величин ребер и основания пирамиды используем метод прямоугольного треугольника . Безусловно, можно и другие, но на мой взгляд, этот метод более доходчив для студентов. Суть его заключается в том, что «на построенном прямом угле откладывается на одном катете проекционная величина отрезка прямой, а на другом — разность координат концов данного отрезка, взятая с сопряженной плоскости проекций. Тогда гипотенуза полученного прямого угла дает натуральную величину данного отрезка прямой» .

Рис.4.1

Рис.4.2

Рис.4.3

3. Итак, на свободном месте чертежа (рис.4.1.а) строим прямой угол.

По горизонтальной линии этого угла откладываем проекционную величину ребра пирамиды DA взятую с горизонтальной плоскости проекций — l DA . По вертикальной линии прямого угла откладываем разность координат точек D ’ и A ’ , взятых с фронтальной плоскости проекций (по оси z вниз) — . Соединив полученные точки гипотенузой, получим натуральную величину ребра пирамиды | DA | .

Таким образом определяем натуральные величины других ребер пирамиды DB и DC , а также основания пирамиды АВ, ВС, АС (рис.4.2) , для которых строим второй прямой угол. Заметим, что определение натуральной величины ребра DC производится в тех случаях, когда на исходном чертеже он дан проекционно. Это легко определяется, если вспомним правило: «если прямая па какой-либо плоскости проекций параллельна оси координат, то на сопряженной плоскости она проецируется в натуральную величину».

В частности, в примере нашей задачи фронтальная проекция ребра D ’ C ’ параллельна оси х , следовательно, в горизонтальной плоскости DC сразу выражена в натуральной величине | DC | (рис.4.1).

Рис.4.4

4. Определив натуральные величины ребер и основания пирамиды, приступаем к построению развертки (рис.4.4 ). Для этого на листе формата бумаги ближе к левой стороне рамки берем произвольную точку D считая, что это вершина пирамиды. Проводим из точки D произвольную прямую и откладываем на ней натуральную величину ребра | DA | , получая точку А . Тогда из точки А , взяв на раствор циркуля натуральную величину основания пирамиды R =|АВ| и поместив ножку циркуля в точку А делаем дуговую засечку. Далее берем на раствор циркуля натуральную величину ребра пирамиды R =| DB | и, поместив ножку циркуля в точку D делаем вторую дуговую засечку. В пересечении дуг получаем точку В , соединив ее с точками А и D получаем грань пирамиды D АВ . Аналогичным образом пристраиваем к ребру DB грань DBC , а к ребру DC — грань DC А .

К одной из сторон основания, например В C , пристраиваем основание пирамиды также методом геометрических засечек, беря на раствор циркуля величины сторон А B и A С и делая дуговые засечки из точек B и C получая точку A (рис.4.4).

5. Построение развертки призмы упрощается тем, что на исходном чертеже в горизонтальной плоскости проекций основанием, а во фронтальной – высотой 85мм, она задана сразу в натуральную величину

Для построения развертки мысленно разрежем призму по какому-либо ребру, например по E , закрепив его на плоскости, развернем другие грани призмы до полного совмещения с плоскостью. Вполне очевидно, что получим прямоугольник, у которого длиной является сумма длин сторон основания, а высотой — высота призмы – 85мм .

Итак, для построения развертки призмы поступаем:

— на том же формате, где построена развертка пирамиды, с правой стороны проводим горизонтальную прямую линию и от произвольно взятой точки на ней, например E, последовательно откладываем отрезки основания призмы EK , KG , GU , UE , взятые с горизонтальной плоскости проекций;

— из точек E , K , G , U , E восстанавливаем перпендикуляры, на которых откладываем высоту призмы, взятую с фронтальной плоскости проекций (85мм);

— соединяя полученные точки прямой, получаем развертку боковой поверхности призмы и к одной из сторон основания, например, GU пристраиваем верхнее и нижнее основание методом геометрических засечек, как выполняли при построении основания пирамиды.

Рис.4.5

6. Для построения линии пересечения на развертке используем правило, гласящее о том, что «любой точке на поверхности соответствует точка на развертке». Возьмем, например, грань призмы GU , где проходит линия пересечения с точками 1-2-3 ; . Отложим на развертке основания GU точки 1,2,3 по расстояниям, взятым с горизонтальной плоскости проекции. Восстановим из этих точек перпендикуляры и отложим на них высоты точек 1’ , 2’, 3’ , взятые с фронтальной плоскости проекции – z 1 , z 2 и z 3 . Таким образом, на развертке получили точки 1, 2, 3, соединив которые получаем первую ветвь линии пересечения.

Аналогично переносятся, все остальные точки. Построенные точки соединяются, получая вторую ветвь линии пересечения. Выделяем красным цветом – искомая линия. Добавим, что при неполном пересечении гранных тел, на развертке призмы будет одна замкнутая ветвь линии пересечения.

7. Построение (перенесение) линии пересечения на развертке пирамиды производится таким же образом, но с учетом следующего:

— поскольку развертки строятся из натуральных величин, необходимо перенести положение точек 1-8 линии пересечения проекций на линии ребер натуральных величин пирамиды. Для этого возьмем, например, точки 2 и 5 во фронтальной проекции ребра DA перенесем их на проекционную величину этого ребра прямого угла (рис.4.1) по линиям связи параллельным оси х , получим искомые отрезки | D 2| и | D 5| ребра DA в натуральных величинах, которые и откладываем (переносим) на развертку пирамиды;

— аналогично переносятся все другие точки линии пересечения, в том числе и точки 6 и 8 , лежащие на образующих Dm и Dn для чего на прямом угле (рис.4.3) определяются натуральные величины этих образующих, а затем на них переносятся точки 6 и 8 ;

— на втором прямом угле, где определены натуральные величины основания пирамиды, переносятся точки m и n пересечений образующих с основанием, которые впоследствии переносятся на развертку.

Таким образом, полученные на натуральных величинах точки 1-8 и перенесенные на развертку, соединяем последовательно прямыми линиями и окончательно получаем линию пересечения пирамиды на ее развертке.